2017高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)攻略之不等式

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　　一、 簡單的線性規(guī)劃問題

　　簡單的線性規(guī)劃問題是高考的熱點之一，是歷年高考的必考內(nèi)容，主要以填空題的形式考查最優(yōu)解的最值類問題的求解，高考的命題主要圍繞以下幾個方面：

　　(1) 常規(guī)的線性規(guī)劃問題，即求在線性約束條件下的最值問題;

　　(2) 與函數(shù)、平面向量等知識結(jié)合的最值類問題;

　　(3) 求在非線性約束條件下的最值問題;

　　(4) 考查線性規(guī)劃問題在解決實際生活、生產(chǎn)實際中的應(yīng)用。而其中的第(2)(3)(4)點往往是命題的創(chuàng)新點。

　　【例1】 設(shè)函數(shù)f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ，其中，角θ的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點?P(x，y)?，且0≤θ≤?π?。

　　(1) 若點P的坐標為12，32，求f(θ)的值;

　　(2) 若點P(x，y)為平面區(qū)域Ω：x+y≥1，x≤1，y≤1。 上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f(θ)的最小值和最大值。

　　分析 第(1)問只需要運用三角函數(shù)的定義即可;第(2)問中只要先畫出平面區(qū)域Ω，再根據(jù)抽畫出的平面區(qū)域確定角θ的取值范圍，進而轉(zhuǎn)化為求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函數(shù)的最值。

　　解 (1) 由點P的坐標和三角函數(shù)的定義可得?sin?θ=32，?cos?θ=12。

　　于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。

　　(2) 作出平面區(qū)域Ω (即三角形區(qū)域ABC)如圖所示，其中A(1，0)，B(1，1)，?C(0，1)?。于是0≤θ≤?π?2，

　　又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6，

　　且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3，

　　故當θ+?π?6=?π?2，即θ=?π?3時，f(θ)取得最大值，且最大值等于2;

　　當θ+?π?6=?π?6，即θ=0時，f(θ)取得最小值，且最小值等于1。

　　點評 本題中的最大的亮點在于以解答題的形式將線性規(guī)劃中的基礎(chǔ)內(nèi)容平面區(qū)域與三角函數(shù)的求值進行了的有機綜合，過去歷年高考對線性規(guī)劃考查中并不多見。

　　二、 基本不等式

　　基本不等式是不等式的重要內(nèi)容，也是歷年高考重點考查的知識之一。它的應(yīng)用幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有的章節(jié)，高考命題的重點是大小判斷、求最值、求范圍等。大多為填空題，試題的難度不大，近幾年的高考試題中也出現(xiàn)了不少考查基本不等式的實際應(yīng)用問題。

　　【例2】 心理學(xué)家研究某位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況發(fā)現(xiàn)：若這位學(xué)生剛學(xué)完的知識存留量為1，則x 天后的存留量y?1=4x+4;若在t(t>0)天時進行第一次復(fù)習(xí)，則此時這似乎存留量比未復(fù)習(xí)情況下增加一倍(復(fù)習(xí)的時間忽略不計)，其后存留量y?2隨時間變化的曲線恰好為直線的一部分，其斜率為a(t+4)?2(?a

　　(責(zé)任編輯：郭峰)

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