高一數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式證明大全

 　　導(dǎo)數(shù)的定義：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0(下面就不再標(biāo)明Δx→0了)

　　用定義求導(dǎo)數(shù)公式

　　(1)f(x)=x^n

　　證法一：(n為自然數(shù))

　　f'(x)

　　=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx

　　=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx

　　=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]

　　=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)

　　=nx^(n-1)

　　證法二：(n為任意實(shí)數(shù))

　　f(x)=x^n

　　lnf(x)=nlnx

　　(lnf(x))'=(nlnx)'

　　f'(x)/f(x)=n/x

　　f'(x)=n/x*f(x)

　　f'(x)=n/x*x^n

　　f'(x)=nx^(n-1)

　　(2)f(x)=sinx

　　f'(x)

　　=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx

　　=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

　　=lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

　　=lim cosxsinΔx/Δx

　　=cosx

　　(3)f(x)=cosx

　　f'(x)

　　=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx

　　=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx

　　=lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx

　　=lim -sinxsinΔx/Δx

　　=-sinx

　　(4)f(x)=a^x

　　證法一：

　　f'(x)

　　=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx

　　=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx

　　(設(shè)a^Δx-1=m，則Δx=loga^(m+1))

　　=lim a^x*m/loga^(m+1)

　　=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]

　　=lim a^x*lna*m/ln(m+1)

　　=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]

　　=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]

　　=lim a^x*lna/lne

　　=a^x*lna

　　證法二：

　　f(x)=a^x

　　lnf(x)=xlna

　　[lnf(x)] '=[xlna] '

　　f' (x)/f(x)=lna

　　f' (x)=f(x)lna

　　f' (x)=a^xlna

　　若a=e，原函數(shù)f(x)=e^x

　　則f'(x)=e^x*lne=e^x

　　(5)f(x)=loga^x

　　f'(x)

　　=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx

　　=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx

　　=lim loga^(1+Δx/x)/Δx

　　=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)

　　=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)

　　=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)

　　=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)

　　=lim lne/(x*lna)

　　=1/(x*lna)

　　若a=e，原函數(shù)f(x)=loge^x=lnx

　　則f'(x)=1/(x*lne)=1/x

　　(6)f(x)=tanx

　　f'(x)

　　=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx

　　=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx

　　=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

　　=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

　　=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))

　　=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

　　(7)f(x)=cotx

　　f'(x)

　　=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx

　　=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx

　　=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

　　(8)f(x)=secx

　　f'(x)

　　=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx

　　=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx

　　=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)

　　=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

　　=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))

　　=sinx/(cosx)^2=tanx*secx

　　(9)f(x)=cscx

　　f'(x)

　　=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx

　　=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx

　　=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx

　　(10)f(x)=x^x

　　lnf(x)=xlnx

　　(lnf(x))'=(xlnx)'

　　f'(x)/f(x)=lnx+1

　　f'(x)=(lnx+1)*f(x)

　　f'(x)=(lnx+1)*x^x

　　(12)h(x)=f(x)g(x)

　　h'(x)

　　=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx

　　=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx

　　=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx

　　=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx

　　=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

　　(13)h(x)=f(x)/g(x)

　　h'(x)

　　=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx

　　=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))

　　=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))

　　=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))

　　=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))

　　=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))

　　=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x

　　(14)h(x)=f(g(x))

　　h'(x)

　　=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx

　　=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx

　　(另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu)

　　=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx

　　=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)

　　=lim f'(u)*Δu/Δx

　　=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx

　　=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)

　　(反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的乘積為1，因?yàn)楹瘮?shù)與反函數(shù)關(guān)于y=x對稱，所以導(dǎo)數(shù)也關(guān)于y=x對稱，所以導(dǎo)數(shù)的乘積為1)

　　(15)y=f(x)=arcsinx

　　則siny=x

　　(siny)'=cosy

　　所以

　　(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy

　　=1/√1-(siny)^2

　　(siny=x)

　　=1/√1-x^2

　　即f'(x)=1/√1-x^2

　　(16)y=f(x)=arctanx

　　則tany=x

　　(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2

　　所以

　　(arctanx)'=1/1+x^2

　　即f'(x)= 1/1+x^2

　　總結(jié)一下

　　(x^n)'=nx^(n-1)

　　(sinx)'=cosx

　　(cosx)'=-sinx

　　(a^x)'=a^xlna

　　(e^x)'=e^x

　　(loga^x)'=1/(xlna)

　　(lnx)'=1/x

　　(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2

　　(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2

　　(secx)'=tanx*secx

　　(cscx)'=-cotx*cscx

　　(x^x)'=(lnx+1)*x^x

　　(arcsinx)'=1/√1-x^2

　　(arctanx)'=1/1+x^2

　　[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

　　[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))

　　[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)

　　(責(zé)任編輯：張新革)

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