2016年高考數學專項練習及答案(6)
題型一 拋物線的定義及其應用
例1 設P是拋物線y2=4x上的一動點，
(1)求點P到A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值;
(2)若B(3,2)，拋物線的焦點為F，求PB+PF的最小值.
破題切入點 畫出圖形，結合拋物線的定義，轉化為共線問題.
解 (1)由于A(-1,1)，F(1,0)，P是拋物線上的任意一點，則AP+PF≥AF==，從而知點P到A(-1，1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和的最小值為，所以點P到A(-1,1)的距離與P到直線x=-1的距離之和的最小值也為.
(2)
如圖所示，自點B作BQ垂直于拋物線的準線于點Q，交拋物線于點P1，此時P1Q=P1F，那么PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4，即PB+PF的最小值為4.
題型二 拋物線的標準方程及性質
例2 (1)設M(x0，y0)為拋物線C：x2=8y上一點，F為拋物線C的焦點，以F為圓心、FM為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是________.
(2)如圖所示是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m.水位下降1 m后，水面寬________ m.
破題切入點 準確求出拋物線方程并結合其簡單幾何性質作答.
答案 (1)(2，+∞) (2)2
解析 (1)∵x2=8y，∴焦點F的坐標為(0,2)，準線方程為y=-2.由拋物線的定義知FM=y0+2.
以F為圓心、FM為半徑的圓的標準方程為x2+(y-2)2=(y0+2)2.
由于以F為圓心、FM為半徑的圓與準線相交，
又圓心F到準線的距離為4，故42.
(2)建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為x2=-2py(p>0)，
則A(2，-2)，將其坐標代入x2=-2py得p=1.
∴x2=-2y.
水位下降1 m，得D(x0，-3)(x0>0)，
將其坐標代入x2=-2y，得x=6，
∴x0=.∴水面寬CD=2 m.
題型三 直線和拋物線的位置關系
例3 已知拋物線C：y2=2px(p>0)過點A(1，-2).
(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程;
(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于?若存在，求直線l的方程;若不存在，請說明理由.
破題切入點 (1)將點代入易求方程.
(2)假設存在，根據條件求出，注意驗證.
解 (1)將(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，
所以p=2.
故所求的拋物線C的方程為y2=4x，
其準線方程為x=-1.
(2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
因為直線l與拋物線C有公共點，
所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.
由直線OA到l的距離d=，
可得=，
解得t=±1.
又因為-1[-，+∞)，1∈[-，+∞)，
所以符合題意的直線l存在，其方程為2x+y-1=0.
總結提高 (1)拋物線沒有中心，只有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸且離心率為e=1，所以與橢圓、雙曲線相比，它有許多特殊性質，可以借助幾何知識來解決.
(2)拋物線的標準方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應關系，將拋物線y2=2px關于y軸、直線x+y=0與x-y=0對稱變換可以得到拋物線的其他三種形式;或者將拋物線y2=2px繞原點旋轉±90°或180°也可以得到拋物線的其他三種形式，這是它們的內在聯(lián)系.
(3)拋物線的焦點弦：設過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
�、賧1y2=-p2，x1x2=;
②若直線AB的傾斜角為θ，則AB=;
�、廴鬎為拋物線焦點，則有+=.
1.已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，-2)到焦點的距離為4，則m的值為________.
答案 4或-4
解析 設標準方程為x2=-2py(p>0)，
由定義知P到準線的距離為4，故+2=4，所以p=4，
則方程為x2=-8y，代入P點坐標得m=±4.
2.若拋物線y2=8x的焦點是F，準線是l，則經過點F，M(3,3)且與l相切的圓共有________個.
答案 1
解析 由題意得F(2,0)，l：x=-2，
線段MF的垂直平分線方程為y-=-(x-)，
即x+3y-7=0，設圓的圓心坐標為(a，b)，
則圓心在x+3y-7=0上，故a+3b-7=0，a=7-3b，
由題意得|a-(-2)|=，
即b2=8a=8(7-3b)，即b2+24b-56=0.
又b>0，故此方程只有一個根，于是滿足題意的圓只有一個.
3.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，P、Q是拋物線上的兩個點，若△PQF是邊長為2的正三角形，則p的值是________.
答案 2±
解析 依題意得F(，0)，設P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2).由拋物線定義及PF=QF，得+=+，∴y=y，∴y1=-y2.又PQ=2，因此|y1|=|y2|=1，點P(，y1).又點P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得PF=+=2，由此解得p=2±.
4.(2014·課標全國Ⅱ改編)設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為________.
答案
解析 由已知得焦點坐標為F(，0)，
因此直線AB的方程為y=(x-)，
即4x-4y-3=0.
方法一 聯(lián)立拋物線方程化簡得4y2-12y-9=0，
故|yA-yB|==6.
因此S△OAB=OF·|yA-yB|=××6=.
方法二 聯(lián)立方程得x2-x+=0，
故xA+xB=.
根據拋物線的定義有AB=xA+xB+p=+
=12，
同時原點到直線AB的距離為h==，
因此S△OAB=AB·h=.
5.已知拋物線y2=8x的準線為l，點Q在圓C：x2+y2+2x-8y+13=0上，記拋物線上任意一點P到直線l的距離為d，則d+PQ的最小值為________.
答案 3
6.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點.若AF=3，則△AOB的面積為______.
答案
解析 如圖所示，由題意知，拋物線的焦點F的坐標為(1,0)，
又AF=3，
由拋物線定義知：點A到準線x=-1的距離為3，
∴點A的橫坐標為2.
將x=2代入y2=4x得y2=8，
由圖知點A的縱坐標y=2，
∴A(2,2)，
∴直線AF的方程為y=2(x-1).
聯(lián)立直線與拋物線的方程
解之得或由圖知B，
∴S△AOB=OF·|yA-yB|=×1×|2+|
=.
7.過拋物線y2=2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若AB=，AF0)的焦點為F，其準線與雙曲線-=1相交于A、B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p=________.
答案 6
解析 因為△ABF為等邊三角形，
所以由題意知B，
代入方程-=1得p=6.
11.(2014·大綱全國)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且QF=PQ.
(1)求C的方程;
(2)過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程.
解 (1)設Q(x0,4)，代入y2=2px得x0=.
所以PQ=，QF=+x0=+.
由題設得+=×，
解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程為y2=4x.
(2)依題意知l與坐標軸不垂直，
故可設l的方程為x=my+1(m≠0).
代入y2=4x，得y2-4my-4=0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1+y2=4m，y1y2=-4.
故設AB的中點為D(2m2+1,2m)，
AB=|y1-y2|=4(m2+1).
又l′的斜率為-m，
所以l′的方程為x=-y+2m2+3.
將上式代入y2=4x，
并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
設M(x3，y3)，N(x4，y4)，
則y3+y4=-，y3y4=-4(2m2+3).
故設MN的中點為E(+2m2+3，-)，
MN= |y3-y4|=，
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點在同一圓上等價于AE=BE=MN，
從而AB2+DE2=MN2，
即4(m2+1)2+(+2)2+(2m+)2=，
化簡得m2-1=0，解得m=1或m=-1.
所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.
12.已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)是否存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·<0?若存在，求出m的取值范圍;若不存在，請說明理由.
解 (1)設P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足：-x=1(x>0).
化簡得y2=4x(x>0).
(2)設過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2).
設l的方程為x=ty+m，
由得y2-4ty-4m=0，
Δ=16(t2+m)>0，于是①
又=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)，·<0
(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②
又x=，于是不等式②等價于·+y1y2-+1<0+y1y2-
+1<0.③
由①式，不等式③等價于m2-6m+1<4t2.④
對任意實數t,4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2-6m+1<0，即3-2
由此可知，存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·<0，且m的取值范圍是(3-2，3+2).
(責任編輯：盧雁明)
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