2016年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)及答案(5)
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題型一 直線和橢圓的位置關(guān)系
例1 如圖所示，橢圓C1：+=1(a>b>0)的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長(zhǎng)等于C1的短軸長(zhǎng).C2與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點(diǎn)D，E.
(1)求C1，C2的方程;
(2)求證：MA⊥MB;
(3)記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若=λ，求λ的取值范圍.
破題切入點(diǎn) (1)利用待定系數(shù)法求解曲線C1，C2的方程.
(2)設(shè)出直線AB和曲線C2聯(lián)立，利用坐標(biāo)形式的向量證明.
(3)將S1和S2分別表示出來(lái)，利用基本不等式求最值.
(1)解 由題意，知=，
所以a2=2b2.
又2=2b，得b=1.
所以曲線C2的方程：y=x2-1，橢圓C1的方程：+y2=1.
(2)證明 設(shè)直線AB：y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由題意，知M(0，-1).
則x2-kx-1=0，
·=(x1，y1+1)·(x2，y2+1)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1
=-(1+k2)+k2+1=0，
所以MA⊥MB.
(3)解 設(shè)直線MA的方程：y=k1x-1，直線MB的方程：y=k2x-1，
由(2)知k1k2=-1，M(0，-1)，
由解得或
所以A(k1，k-1).
同理，可得B(k2，k-1).
故S1=MA·MB=·|k1||k2|.
由解得或
所以D(，).
同理，可得E(，).
故S2=MD·ME
=·，
=λ==≥，
則λ的取值范圍是[，+∞).
題型二 直線和雙曲線的位置關(guān)系
例2 已知雙曲線C：x2-y2=1及直線l：y=kx-1.
(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為，求實(shí)數(shù)k的值.
破題切入點(diǎn) (1)聯(lián)立方程組，利用Δ>0求出k的取值范圍.
(2)聯(lián)立方程用根與系數(shù)的關(guān)系求解.
解 (1)雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
∴
解得-|x2|時(shí)，
S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)
=|x1-x2|;
當(dāng)A，B在雙曲線的兩支上且x1>x2時(shí)，
S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)
=|x1-x2|.
∴S△OAB=|x1-x2|=，∴(x1-x2)2=(2)2，
即()2+=8，解得k=0或k=±.
又∵-0，b>0)的上焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，B為虛軸的端點(diǎn)，離心率e=，且S△ABF=1-.拋物線N的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F.
(1)求雙曲線M和拋物線N的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線N相切于點(diǎn)P，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，則以PQ為直徑的圓是否恒過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)?如果是，試求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
破題切入點(diǎn) (1)根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，用a，c表示已知條件，建立方程組即可求解雙曲線的方程，然后根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出拋物線的方程.
(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓的性質(zhì)列出關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo)的方程，將問題轉(zhuǎn)化為方程恒成立的問題來(lái)解決.
解 (1)在雙曲線中，c=，
由e=，得=，
解得a=b，故c=2b.
所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b
=1-，解得b=1.
所以a=，c=2，其上焦點(diǎn)為F(0,2).
所以雙曲線M的方程為-x2=1，
拋物線N的方程為x2=8y.
(2)由(1)知拋物線N的方程為y=x2，
故y′=x，拋物線的準(zhǔn)線為y=-2.
設(shè)P(x0，y0)，則x0≠0，y0=x，
且直線l的方程為y-x=x0(x-x0)，
即y=x0x-x.
由得
所以Q(，-2).
假設(shè)存在點(diǎn)R(0，y1)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)該點(diǎn)，
也就是·=0對(duì)于滿足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立.
由于=(x0，y0-y1)，=(，-2-y1)，
由·=0，
得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0，
整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0，
即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0，(*)
由于(*)式對(duì)滿足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立，
所以解得y1=2.
故以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上的定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).
總結(jié)提高 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，萬(wàn)變不離其宗，構(gòu)建屬于自己的解題模板，形成一定的解題思路，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)加以解決.
1. 設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，已知當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，△OMN的面積為2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在直線l，使得以MN為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰好在y軸上，若存在，求直線l的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，則|MN|=2p，
∴S△OMN=·2p·==2，即p=2.
∴拋物線C的方程為y2=4x.
(2)∵直線l與x軸垂直時(shí)，不滿足.設(shè)正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)為P.
故可設(shè)直線l：y=k(x-1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，
聯(lián)立可化簡(jiǎn)得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，
則代入直線l可得MN的中點(diǎn)為(，)，
則線段MN的垂直平分線為y-=-(x-1-)，
故P(0，+).
又·=0，則x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0.
即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0.
1-4-y0·+y=0，化解得ky-4y0-3k=0，
由y0=+代入上式，化簡(jiǎn)得(3k4-4)(k2+1)=0.
解得k=± .∴存在直線l：y=± (x-1).
2.(2013·廣東)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0，c)(c>0)到直線l：x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求AF·BF的最小值.
解 (1)依題意知=，c>0，解得c=1.
所以拋物線C的方程為x2=4y.
(2)由y=x2得y′=x，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則切線PA，PB的斜率分別為x1，x2，
所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1)，
即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.
同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0，
又點(diǎn)P(x0，y0)在切線PA和PB上，
所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，
所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x-2y0-2y=0 的兩組解，
所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.
(3)由拋物線定義知AF=y1+1，BF=y2+1，
所以AF·BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1，
聯(lián)立方程
消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0，
∴y1+y2=x-2y0，y1y2=y，
∴AF·BF=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1
=y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5
=22+，
∴當(dāng)y0=-時(shí)，AF·BF取得最小值，且最小值為.
3.(2013·浙江)
如圖，點(diǎn)P(0，-1)是橢圓C1：+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓C2：x2+y2=4的直徑.l1，l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.
解 (1)由題意得
所以橢圓C1的方程為+y2=1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).
由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，
則直線l1的方程為y=kx-1.
又圓C2：x2+y2=4，
故點(diǎn)O到直線l1的距離d=，
所以AB=2=2 .
又l2⊥l1，故直線l2的方程為x+ky+k=0.
由
消去y，整理得(4+k2)x2+8kx=0，
故x0=-.所以PD=.
設(shè)△ABD的面積為S，
則S=·AB·PD=，
所以S=
≤
=，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±時(shí)取等號(hào).
所以所求直線l1的方程為y=±x-1.
4.已知雙曲線E：-=1(a>0，b>0)的焦距為4，以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓和直線x-y+=0相切.
(1)求雙曲線E的方程;
(2)已知點(diǎn)F為雙曲線E的左焦點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一定點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M任意作一條直線交雙曲線E于P，Q兩點(diǎn)(P在Q點(diǎn)左側(cè))，使·為定值?若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)由題意知=a，
∴a=.
又∵2c=4，∴c=2，∴b==1.
∴雙曲線E的方程為-y2=1.
(2)當(dāng)直線為y=0時(shí)，
則P(-，0)，Q(，0)，F(xiàn)(-2,0)，
∴·=(-+2,0)·(+2,0)=1.
當(dāng)直線不為y=0時(shí)，
可設(shè)l：x=ty+m(t≠±)代入E：-y2=1，
整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t≠±).(*)
由Δ>0得m2+t2>3.
設(shè)方程(*)的兩個(gè)根為y1，y2，
滿足y1+y2=-，y1y2=，
∴·=(ty1+m+2，y1)·(ty2+m+2，y2)
=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2
=.
當(dāng)且僅當(dāng)2m2+12m+15=3時(shí)，·為定值，
解得m1=-3-，m2=-3+(舍去).
綜上，過(guò)定點(diǎn)M(-3-，0)任意作一條直線交雙曲線E于P，Q兩點(diǎn)，使·=1為定值.
5.已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，y0>0)，
則切線斜率為-，切線方程為y-y0=-(x-x0)，
即x0x+y0y=4，此時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S=··=.
由x+y=4≥2x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=時(shí)，x0y0有最大值，即S有最小值，
因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，).
由題意知解得
故C1的方程為x2-=1.
(2)由(1)知C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-，0)，(，0)，
由此設(shè)C2的方程為+=1，其中b1>0.
由P(，)在C2上，得+=1，
解得b=3，因此C2的方程為+=1.
顯然，l不是直線y=0.
設(shè)l的方程為x=my+，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(m2+2)y2+2my-3=0，
又設(shè)y1，y2是方程的根，因此
由x1=my1+，x2=my2+，得
因?yàn)?(-x1，-y1)，=(-x2，-y2)，
由題意知·=0，
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0，⑤
將①②③④代入⑤整理得2m2-2m+4-11=0，
解得m=-1或m=-+1.
因此直線l的方程為x-(-1)y-=0或x+(-1)y-=0.
(責(zé)任編輯：盧雁明)
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