高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破復(fù)習(xí)：選擇題的解法

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　　一、選擇題

　　1．設(shè)⊕是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集．若對(duì)任意a、b∈A，有a⊕b∈A，則

　　稱A對(duì)運(yùn)算⊕封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都

　　封閉的是                                                            (　　)

　　A．自然數(shù)集  B．整數(shù)集

　　C．有理數(shù)集  D．無(wú)理數(shù)集

　　解析：A：自然數(shù)集對(duì)減法，除法運(yùn)算不封閉，如1－2＝－1?N，1÷2＝12?N.

　　B：整數(shù)集對(duì)除法運(yùn)算不封閉，如1÷2＝12?Z.

　　C：有理數(shù)集對(duì)四則運(yùn)算是封閉的．

　　D：無(wú)理數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法、除法運(yùn)算都不封閉．

　　如(2＋1)＋(1－2)＝2，

　　2－2＝0，2×2＝2，

　　2÷2＝1，其運(yùn)算結(jié)果都不屬于無(wú)理數(shù)集．

　　答案：C

　　2．(2010·武漢質(zhì)檢)若x，y∈R，則"x>1或y>2"是"x＋y>3"的         (　　)

　　A．充分而不必要條件

　　B．必要而不充分條件[來(lái)源:Zxxk.Com]

　　C．充分必要條件[來(lái)源:Z|xx|k.Com]

　　D．既不充分也不必要條件

　　解析：本題考查充分必要條件的判斷．

　　據(jù)已知若x>1或y>2?/ x＋y>3，反之研究當(dāng)x＋y>3時(shí)是否推出x>1或y>2，

　　由于命題：x≤1且y≤2?x＋y≤3為真，其逆否命題即為x＋y>3?x>1或y>2，由命

　　題的等價(jià)性可知命題為真，因此x>1或y>2是x＋y>3成立的一個(gè)必要但不充分條件．

　　答案：B

　　3．(2010·濟(jì)南模擬)為了得到函數(shù)y＝sin2x－π6的圖象，可以將函數(shù)y＝cos 2x的圖象

　　(　　)

　　A．向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度

　　B．向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度

　　C． 向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度

　　D．向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度

　　解析：本題考查函數(shù)圖象的平移變換．

　　由y＝cos 2x?y＝sinπ2－2x?y＝sinπ－π2－2x?y＝sin2x＋π2?y＝sin2x＋π4，

　　又y＝sin2x－π6?y＝sin2x－π12，

　　可見(jiàn)由y＝sin2x＋π4的圖象向右移動(dòng)π4＋π12＝3π＋π12＝π3個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin2x－π12[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]

　　的圖象．

　　答案：B

　　4．已知拋物線x2＝－2py(p>0)的焦點(diǎn)F的任一直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，則1|FM|＋

　　1|FN|為定值                                                         (　　)

　　A.1p          B.2p          C.3p          D.4p

　　解析：取通徑MN，則|FN|＝|FM|＝p，

　　1|FM|＋1|FN|＝2p.

　　答案：B

　　5．(2009·江西)甲、乙、丙、丁4個(gè)足球隊(duì)參加比賽，假設(shè)每場(chǎng)比賽各隊(duì)取勝的概率相

　　等，現(xiàn)任意將這4個(gè)隊(duì)分成兩個(gè)組(每組兩個(gè)隊(duì))進(jìn)行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇

　　的概率為                                                          (　　)

　　A.16           B.14           C.13           D.12

　　解析：甲、乙兩隊(duì)分到同組概率為P1＝13，不同組概率為P2＝23，又∵各隊(duì)取勝概率

　　均為12，

　　∴甲、乙兩隊(duì)相遇概率為P＝13＋23×12×12＝12.

　　答案：D

　　6．(2009·陜西)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對(duì)任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2 －f x1 x2－x1

　　<0，則                                                               (　　)

　　A．f(3)

　　B．f(1)

　　C．f(－2)

　　D．f(3)

　　解析：對(duì)任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2 －f x1 x2－x1<0，則x2－x1與f(x2)－f(x1)異

　　號(hào)，因此函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)．又f (x)在R上是偶函數(shù)，故f(－2)＝f(2)，

　　由于3>2>1，故有f(3)

　　答案：A

　　二、填空題

　　7．(2009·廣東理)若平面向量a，b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，b＝(2，－1)，則a

　�。絖_______.

　　解析：∵|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，故a＋b＝(1,0)或(－1，0)，∴a＝(1,0)－(2，

　�。�1)＝(－1,1)或a＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．

　　答案：(－1,1)或(－3,1)

　　8．已知f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)

　　遞增，又f12＝0, 設(shè)A是三角形的一內(nèi)角，滿足f(cos A)<0，則A的取值范圍是

　　________．

　　解析：

　　作出滿足題意的特殊函數(shù)圖象，如圖所示，由圖知，0

　　∴π3

　　答案：π3，π2∪2π3，π

　　9．若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

　　________．

　　解析：考慮命題："存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立"的否定為

　　"任取a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立".變換主元得到f(a)＝a(x2

　　＋x)－2x－2≤0，對(duì)任意的a∈[1,3]恒成立，則只要滿足f(1)≤0且f(3)≤0即可，所

　　以－1≤x≤23，故x的取值范圍是x<－1或x>23.

　　答案：x<－1或x>23

　　10．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1，1]內(nèi)至少有一個(gè)值c，使

　　f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為_(kāi)_______．

　　解析：此題從反面分析，采取補(bǔ)集法則比較簡(jiǎn)單．如果在[－1，1]內(nèi)沒(méi)有點(diǎn)滿足

　　f(c)>0，

　　則則f －1 ≤0，f 1 ≤0.?p≤12或p≥1，p≤－3或p≥32

　　?p≤－3或p≥32.

　　取補(bǔ)集為p|－3

　　答案：－3

　　三、解答題

　　11．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos2x＋π3＋si n2x.

　　(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期；

　　(2)設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cos B＝13，

　　fC2＝－14，且C為銳角，求sin A.

　　解：(1)f(x)＝cos 2xcosπ3－sin 2xsinπ3＋1－cos 2x2＝

　　12cos 2x－32sin 2x＋12－12cos 2x

　�。�12－32sin 2x.

　　所以當(dāng)2x＝－π2＋2kπ，即x＝－π4＋kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最大值，[f(x)]最大值＝1＋32，

　　f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，

　　故函數(shù)f(x)的最大值為1＋32，最小正周期為π.

　　(2)由fC2＝－14，即12－32sin C＝－14，

　　解得sin C＝32.

　　又C為銳角，所以C＝π3.由 cos B＝13求得sin B＝223.

　　因此sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)

　�。絪in Bcos C＋cos Bsin C

　　＝222×12＋13×32＝22＋36.

　　12．(2009·全國(guó)Ⅰ理)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋1nan＋n＋12n.

　　(1)設(shè)bn＝ann，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

　　(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

　　解：(1)由已知得b1＝a1＝1，且an＋1n＋1＝ann＋12n，

　　即bn＋1＝bn＋12n，從而b2＝b1＋12，

　　b3＝b2＋122，

　　…

　　bn＝bn－1＋12n－1(n≥2)．

　　于是bn＝b1＋12＋122＋…＋12n－1＝2－12n－1(n≥2)．

　　又b1＝1，

　　故所求的通項(xiàng)公式bn＝2－12n－1.

　　(2)由(1)知an＝2n－n2n－1，故

　　Sn＝(2＋4＋…＋2n)－1＋22＋322＋423＋…＋n2n－1，

　　設(shè)Tn＝1＋221＋322＋423＋…＋ n2n－1，①

　　12Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，②

　�、伲�②得，

　　12Tn＝1＋12＋122＋123＋…＋12n－1－n2n

　�。�1－12n1－12－n2n＝2－22n－n2n，[來(lái)源:Zxxk.Com]

　　∴Tn＝4－n＋22n－1.

　　∴Sn＝n(n＋1)＋n＋22n－1－4.

　　13．如圖所示，橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0)，且過(guò)點(diǎn)(2,0)．

　　(1)求橢圓C的方程：

　　(2)若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線l：x＝4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于

　　點(diǎn)M，

　　(ⅰ)求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；

　　(ⅱ)求△AMN面積的最大值．

　　方法一：(1)解：由題設(shè)a＝2，c＝1，從而b2＝a2－c2＝3，

　　所以橢圓C的方程為x24＋y23＝1.

　　(2)(i)證明：由題意得F(1,0)、N(4,0)．

　　設(shè)A(m，n)，則B(m，－n)(n≠0)，m24＋n23＝1.①

　　AF與B N的方程分別為：n(x－1)－(m－1)y＝0，

　　n(x－4)＋(m－4)y＝0.

　　設(shè)M(x0，y0)，則有n x0－1 － m－1 y0＝0，　　　�、趎 x0－4 ＋ m－4 y0＝0，  ③

　　由②③得x0＝5m－82m－5，y0＝3n2m－5.

　　由于x204＋y203＝ 5m－8 24 2m－5 2＋3n2 2m－5 2＝ 5m－8 2＋12n24 2m－5 2

　　＝ 5m－8 2＋36－9m24 2m－5 2＝1.

　　所以點(diǎn)M恒在橢圓C上．

　　(ⅱ)解：設(shè)AM的方程為x＝ty＋1，代入x24＋y23＝1，

　　得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0.

　　設(shè)A(x1，y1)、M(x2，y2)，則有y1＋y2＝－6t3t2＋4，[來(lái)源:Zxxk.Com]

　　y1y2＝－93t2＋4，

　　|y1－y2|＝ y1＋y2 2－4y1y2＝43·3t2＋33t2＋4.

　　令3t2＋4＝λ(λ≥4)，則

　　|y1－y2|＝43·λ－1λ

　　＝43 －1λ2＋1λ

　�。�43 －1λ－122＋14，

　　因?yàn)?lambda;≥4 ,0<1λ≤14，所以當(dāng)1λ＝14，

　　即λ＝4，t＝0時(shí)，|y1－y2|有最大值3，此時(shí)AM過(guò)點(diǎn)F.△AMN的面積S△AMN＝12|NF|·|y1－y2|有最大值92.

　　方法二：(1)同方法一．

　　(2)(ⅰ)證明：由題意得F(1,0)、N(4,0)，

　　設(shè)A(m，n)，則B(m，－n)(n≠0)，m24＋n23＝1.①

　　AF與BN的方程分別為n(x－1)－(m－1)y＝0，②

　　n(x－4)＋(m－4)y＝0.③

　　由②③得：當(dāng)x≠52 時(shí)，m＝5x－82x－5，n＝3y2x－5.④

　　把④代入①，得x24＋y23＝1(y≠0)．

　　當(dāng)x＝52時(shí)，由②③得32n－ m－1 y＝0，－32n＋ m＋4 y＝0，

　　解得n＝0，y＝0，與n≠0矛盾．

　　所以點(diǎn)M的軌跡方程為x24＋y23＝1(y≠0)，

　　即點(diǎn)M恒在橢圓C上．

　　(ⅱ)同方法一．

　　(責(zé)任編輯：韓志霞)

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