一、求被除數(shù)類

　　1. 同余加余，同差減差

　　例1.某數(shù)被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此數(shù)最小是多少?

　　解：因為“被5除余3，被3除余3”中余數(shù)相同，即都是3(同余)，所以要先求滿足5和3的最小數(shù)，[5、3]=15，

　　15+3=18，

　　18÷7=2……4不余6，(不對)

　　15×2=30

　　(30+3)÷7=4……5不余6(不對)

　　(15×3+3)÷7=6……6(對)

　　所以滿足條件的最小數(shù)是48。

　　例2.某數(shù)被3除余2，被5除余4，被7除余5，這個數(shù)最小是多少?

　　解：因為“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先滿足5和3的最小數(shù)，[5、3]=15，

　　15-1=14，

　　14÷7=2……0不余5(不對)

　　(15×6-1)÷7=12……5

　　所以滿足條件的最小數(shù)是89。

　　例3.一個四位數(shù)，它被131除余112，被132除余98，求這個四位數(shù)?

　　解：除數(shù)相差132-131=1，余數(shù)相差112-98=14，說明這個四位數(shù)中有14個131還余112。所以131×14+112=1946。

　　二、求除數(shù)類

　　1.若a÷c=……r;b÷c=……r.則cㄏ(a-b)。

　　例1.一個數(shù)去除551，745，1133這3個數(shù)，余數(shù)都相同。問這個數(shù)最大可能是幾?

　　解：745-551=194，1133-745=388。(194，388)=194，所以這個數(shù)最大是194。

　　2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2， r1+ r2=d.則cㄏ(a+b-d)。

　　例2.有一個整數(shù)，用它分別去除157，234和324，得到的三個余數(shù)之和是100。求這個整數(shù)?

　　解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除數(shù)應(yīng)大于34，小于157。所以滿足條件的有41、123兩個，經(jīng)過驗算可知正確答案為41。

　　三、求余數(shù)類

　　例1.已知整數(shù)n除以42余12，求n除余21的余數(shù)?

　　解：由已知條件可知，n=42的倍數(shù)+12=21的2倍的倍數(shù)+12。所以，n除以21的余數(shù)為12。

　　例2.有一個整數(shù)，除1200，1314，1048所得的余數(shù)都相同且大于5。問：這個相同的余數(shù)是多少?

　　解：因為

　　1314-1200=114=3×38，

　　1200-1048=152=4×38。

　　某自然數(shù)應(yīng)當(dāng)是這兩個差的公約數(shù)，即38。又因為

　　1200÷38=31(余22)

　　1314÷38=34(余22)。

　　所以，這個相同的余數(shù)是22。

　　例3.求19901990除以3所得的余數(shù)?

　　解：由同余的性質(zhì)可知：對于同一個模，同余的乘方仍同余。

　　因為，

　　1990被3除余1，即19901990≡11990≡1，

　　所以19901990除以3所得的余數(shù)為1。

　　例4.有一個77位數(shù)，它的各位數(shù)字都是1，這個數(shù)除以7，余數(shù)是多少?

　　解：根據(jù)被7整除的特征知，111111能被7整除。

　　77 ÷6=12(余5)，

　　11111÷7=1587(余2)。

　　所以，這個數(shù)除以7的余數(shù)是2。

　　例5.1，1，2，3，5，8，13，……，90個數(shù)排成一列，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和。那么，這90個數(shù)的和除以5的余數(shù)是多少?

　　解：這一列數(shù)被5除的余數(shù)依次為1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，……。

　　余數(shù)從頭起20個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)，而且這20個數(shù)的和40又恰為5的倍數(shù)。

　　90÷20=4(余10)

　　這列數(shù)中前10個數(shù)的余數(shù)和為

　　1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18

　　18÷5=3(余3)

　　所以，這90個數(shù)的和除以5的余數(shù)為3。

　　練習(xí)題：

　　1. 一個三位數(shù)被37除余17，被36除余3，那么這個三位數(shù)是多少?

　　2. 已知整數(shù)n除以3余2，求n除以12的余數(shù)?

　　3. 某數(shù)除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此數(shù)最小是多少?

　　4. 號碼分別為101，126，173，193的四個運動員進行乒乓球比賽，規(guī)定每兩人比賽的盤數(shù)是他們號碼的和被3除所得的余數(shù)。那么，打球盤數(shù)最多的運動員打了多少盤?

　　5. 求21000除以13的余數(shù)是多少?

　　6. 當(dāng)n是1到1992之間的一個自然數(shù)時，把它的各位數(shù)字相加，如果它的和不是一個一位數(shù)，那么把它的各位數(shù)再相加，如此繼續(xù)下去，直到得到一個從1到9的一位數(shù)為止(例如：468→18→9)。問在1到1992這1992個自然數(shù)經(jīng)過上述方法處理后所得的1992個一位數(shù)中，3多還是4多?多幾個?

　　7. 由2000個2組成的數(shù)除以13，所得的余數(shù)是幾?

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