解析幾何專題復(fù)習(xí)指導(dǎo)
天津市第四十二中學(xué) 張鼎言
6. 如圖，已知點F(1，0)，直線l：x=-1，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且-·■=-·■
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M，已知-=λ1-，-=λ2-，求λ1+λ2的值。
解(1)P(x，y)，Q(-1，y)，F(xiàn)(1，0)
-=(x+1，0)，-=(2，-y)
-=(x-1，y)，-=(-2，y)
由已知，得y2=4x
拋物線焦點F(1，0)，準(zhǔn)線l：x=-1
解(2)lABy=k(x-1)，k存在
-
△=16+16k2>0
y1+y2=-，y1y2=-4
A(x1，y1)、B(x2，y2)、M(-1，-2k)
-=λ1-→y1+2k=-λ1y1，λ1=--
-=(x2+1，y2+2k)
-=(1-x2，1-y2)
→y2+2k=-λ2y2
λ2=--
λ1+λ2=----
=-2-2k(-+-)
=-2-2k·■=0
注：本題的直線過拋物線焦點，但沒有拋物線定義.把前5個題與本題比較，直線過焦點且出現(xiàn)距離問題時，前5個題引出的方法適用.
(五)直線與圓錐曲線相交不過焦點
復(fù)習(xí)導(dǎo)引：
因直線不過焦點又與圓錐曲線相交，設(shè)直線方程一般不用兩點式，否則會導(dǎo)致推導(dǎo)的復(fù)雜性。點在直線或曲線上，點的坐標(biāo)滿足方程看來熟知卻容易忽略。
1. 設(shè)橢圓-+-=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點，AF2⊥F1F2，原點O到直線AF1的距離為-|OF1|。
(Ⅰ)證明a=-b；
(Ⅱ)設(shè)Q1，Q2為橢圓上的兩個動點，OQ1⊥OQ2，過原點O作直線Q1Q2的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程。
(Ⅰ)-+-=1(a>b>0)
A(c，y)
-+-=1，|y|=-
-=-
→-=-
-=-→2a2-b2=3b2，a2=2b2，∴a=-b
(Ⅱ)由(Ⅰ)
-
-
→(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-b2)=0
△=16k2m2-8(2k2+1)(m2-b2)>0
2k2b2+b2>m2
x1+x2=--，
x1x2=-
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
=---+m2
=-
(責(zé)任編輯：王曉冬)
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