數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：數(shù)列專題熱點(diǎn)指導(dǎo)
2009-02-19 11:11:33
來(lái)源：
假設(shè)ak>α，由上面的遞推式，用比較法： ak+1-α=--α
=-
=-
而α是方程x2+x-1=0的根，
∴ak+1-α=->0
∴ak+1>α
由上數(shù)學(xué)歸納法可證an>α
分析(3)由(2)an>α，又an>α>β
∴an>β
bn=ln-有意義，同理an-β=-(n≥2)
bn=ln-
=2ln-=2bn-1
b1=ln-=2ln-
=2ln-
=4ln-
Sn=-
=b1g(2n-1)
=(2n+2-4)gln-
注：本題的關(guān)鍵是第(2)問(wèn)，通過(guò)an+1-α，不等式比較法，建立了遞推關(guān)系。
7. 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=-，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…
(Ⅰ)寫出Sn與Sn-1的遞推關(guān)系式(n2)，并求Sn關(guān)于n的表達(dá)式；
(Ⅱ)設(shè)fn(x)=-xn+1，bn=fn1(p)(p∈R)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。
解(Ⅰ)由已知Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，(n2)。
(n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1)
兩邊同除以n(n-1)，
-Sn=-Sn-1+1
設(shè)cn=-Sn，
cn=cn-1+1，
由S1=a1=-，c1=1
∴cn=1+(n-1)=n
Sn=-
(Ⅱ)fn(x)=-xn+1=-xn+1，f'n(x)=nxn
bn=npn
設(shè)Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn (1)
當(dāng)p=0時(shí)，Tn=0
p=1時(shí)，
Tn=1+2+…+n=-n(n+1)
pTn=p2+2p3+…+npn+1 (2)
(1)-(2) Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1
∴Tn=---，(p≠0， p≠1)
注：在遞推關(guān)系中，設(shè)cn是關(guān)鍵，從Sn-1→Sn與-→-是同樣的遞推。在遞推中著眼點(diǎn)是關(guān)于n的結(jié)構(gòu)上的一致性。
8. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1，n=1，2，3，…
(Ⅰ)求a1,a2；
(Ⅱ)求{an}的通項(xiàng)公式
(Ⅰ)n=1，a1=S1，(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，a1=-；
n=2，S2=a1+a2=-+a2，
S2-1=a2--，
代入(a2--)2-a2(a2--)-a2=0，a2=-，S2=-+-=-；
(Ⅱ)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0，(Sn-1)(Sn-an-1)-an=0，
(Sn-1)(Sn-1-1)-(Sn-Sn-1)=0，Sn·Sn-1-2Sn+1=0
以上是把a(bǔ)n轉(zhuǎn)化成Sn，理由是把Sn轉(zhuǎn)換成an走不通，實(shí)際上求出Sn，an也可求出。
由S1=-，S2=-，進(jìn)一步可求出S3=-，猜想Sn=-，用數(shù)字歸納法n=2時(shí)命題成立，假定Sk=-，
由關(guān)于Sn的遞推式，
Sk+1=-=-=-，
∴Sn=-，an=-
注：由遞推公式求通項(xiàng)，從特殊到一般，先求出n=1，2，3，…歸納假設(shè)提出猜想，再去證明猜想。
9. 已知函數(shù)f(x)=x-sinx，數(shù)列{an}滿足：0
證明(Ⅰ)0
(Ⅱ)an+1<-an3
證明(Ⅰ)由已知an+1=f(an)，是以函數(shù)形式給出的遞推關(guān)系，-，
先用數(shù)學(xué)歸納法證明：0
n=1由已知0
考慮函數(shù)f(x)=x-sinx，f'(x)=1-cosx，
∵0
∴f'(x)>0，f(x)↑
f(x)在[0，1]上連續(xù)
∴f(0)
∴0
又∵an+1=f(an)=an-sinan，00，
∴an-an+1=sinan>0
∴0
(Ⅱ)要證an+1<-an3，需證-an3-an+1>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)=-x3-x+sinx(0
g'(x)=-x2-1+cosx
=-x2-2sin2-
=2[(-)2-(sin-)2]
當(dāng)0<-<-時(shí)，用單位圓易證->sin->0
∴g'(x)>0,g(x)↑0
∴g(an)>g(0),-an3-an+sinan>0
-an3>an-sinan=an-1
注：本題是以函數(shù)形式確定遞推關(guān)系，把遞推式中項(xiàng)與項(xiàng)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性。
(責(zé)任編輯：盧雁明)
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