運(yùn)用向量方法解決軌跡方程
2009-02-19 11:08:48
來源：
天津市第四十二中學(xué) 李艷杰 二、運(yùn)用兩非零向量共線的充要條件求軌跡方程。
例1：已知定點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)P在曲線x2+y2=1(x≠1)上運(yùn)動(dòng)，∠AOP的平分線交PA于Q，其中O為原點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程。
解: 設(shè)Q(x,y),P(x1,y1)
-=(x-2,y)
-=( x1-x,y1-y)
又∵-=-=-
∴ -=2-
即：(x-2,y)=2(x1-x,y1-y)
-
解得：-
代入x12+y12=1(x≠1)有：
-(3x-2)2+-y2=1(x≠-)
即所求軌跡方程為：
(x--)2+y2=-(x≠-)
【點(diǎn)撥】用該方法解此類問題簡(jiǎn)單明了，若將Q視為線段AP的定比分點(diǎn)，運(yùn)用定比分點(diǎn)公式解本題，則計(jì)算過程既繁瑣又容易出錯(cuò)。
例2：設(shè)過點(diǎn)P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若-=2-,且-·■=1,求P點(diǎn)的軌跡方程。
解：-=2-
∴P分有向線段-所成的比為2
由P(x,y)可得B(0,3y),A(-x,0)
∴- =(--x,3y)
∵Q與P關(guān)于y軸對(duì)稱, ∴Q(-x,y),-且 =(-x,y)
∴由-·■=1可得-x2+3y2=1(x>0,y>0)
即所求點(diǎn)P的軌跡方程為-x2+3y2=1(x>0,y>0)
【點(diǎn)撥】求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)應(yīng)注意它的完備性與純粹性�；�(jiǎn)過程破壞了方程的同解性，要注意補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)或者挖去多余的點(diǎn)。
三、運(yùn)用兩非零向量垂直的充要條件是求軌跡方程。
例1：如圖，過定點(diǎn)A(a,b)任意作相互垂直的直線l1與l2，且l1與x軸相交于M點(diǎn)，l2與y軸相交于N點(diǎn)，求線段MN中點(diǎn)P的軌跡方程。
解：設(shè)P(x,y)，則M(2x,0)，N(0,2y)
-=(2x-a ,-b)
-=(-a,2y-b)
由-⊥-知-·■=0
∴(2x-a)(-a)+(-b)(2y-b)=0
即所求點(diǎn)P的軌跡方程為2ax+2by=a2+b2
【點(diǎn)撥】用勾股定理解本題，運(yùn)算繁瑣，若用斜率解本題，又必須分類討論，用向量的方法避免了上述兩種方法的缺陷，使解題優(yōu)化。
例2：過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足M，求點(diǎn)M的軌跡方程。
解：設(shè)M(x,y), OM⊥AB，F(xiàn)(2,0)
∵-·■=0且-=(x,y),-=(2-x,-y)
∴x(2-x)-y2=0，即：x2+y2-2x=0
∴點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-2x=0
由以上幾例可以看出：軌跡方程的很多題目都可以用向量來探求思路。用向量解決求軌跡問題，最理想的情形是題設(shè)中有“向量的數(shù)量積”“平行”“垂直”，或結(jié)論與“垂直”有關(guān)。重要的是在學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中培養(yǎng)向量意識(shí)，使向量成為我們處理問題的基本工具。
(責(zé)任編輯：盧雁明)
特別說明：由于各省份高考政策等信息的不斷調(diào)整與變化，育路高考網(wǎng)所提供的所有考試信息僅供考生及家長(zhǎng)參考，敬請(qǐng)考生及家長(zhǎng)以權(quán)威部門公布的正式信息為準(zhǔn)。
高考專業(yè)報(bào)名咨詢
