09年應試指導：自主招生考試數(shù)學試題解析
自從2006年復旦大學、上海交通大學等全國重點院校招生改革“破冰”以來，各�！吧罨灾鬟x拔錄取改革試驗”招生方案不斷出臺。全國自主招生院校數(shù)目及招生規(guī)模也在增加，引起了教育界和廣大考生、家長和中學教師對命題的高度關注。以下就近兩年數(shù)學考試特點進行剖析。
試卷特點分析
1.基礎知識和基本技能仍是考查重點
基礎知識、基本技能稱之為“雙基”。大家知道，能力與“雙基”有著辯證關系。沒有扎實的“雙基”，能力培養(yǎng)就成了無源之水，無本之木。所以，“雙基”訓練是數(shù)學教學的重要任務之一。
綜觀復旦、交大、清華等高校近幾年自主招生的數(shù)學題目，我們會發(fā)現(xiàn)有60%至70%的題目仍是比較基礎的。例如近三年來上海交大卷的填空題都是10題(50分)，占試卷的一半，這些填空題比較常規(guī)，和高考試題難度相當。復旦卷有30題左右的選擇題，也多半是學生平時訓練過的一些比較熟悉的題型和知識點。
2.考查知識點的覆蓋面廣，但側(cè)重點有所不同
復旦、交大等高校近幾年自主招生的試題，知識點的覆蓋面還是很廣的，基本上涉及到高中數(shù)學大綱的所有內(nèi)容。例如，函數(shù)、集合、數(shù)列、復數(shù)、三角、排列、組合、概率統(tǒng)計、向量、立體幾何、解析幾何等。
但高校自主招生試題命題是由大學完成的，更多會考慮到高等數(shù)學與初等數(shù)學的銜接，所以提請大家注意幾個方面：
-函數(shù)和方程問題、排列組合和概率統(tǒng)計等 粗略統(tǒng)計，2008年復旦卷中與函數(shù)和方程有關的試題多達10題，占31%。
-復數(shù) 復數(shù)通常在高考中要求比較低，占的比分也較少，但在復旦卷中仍占有一席之地(2008年及2007年分別有2題和3題)。
-矩陣和行列式 這些知識雖然目前還未納入高考范圍，但由于是高等數(shù)學中非常重要的內(nèi)容，近幾年在復旦卷中每年都會出現(xiàn)。
以上各點，望能引起廣大師生的注意。
當然由于上述同樣的原因，盡管高考中解析幾何是一個比較重要的內(nèi)容，但在復旦卷中所占比例卻較少，例如，2008年和2007年只有2題和1題。
3.注重數(shù)學知識和其他科目的整合，考查學生應用知識解決問題的能力
2008年交大冬令營數(shù)學試卷中有這樣一個問題：
通信工程中常用n元數(shù)組(a1，a2，a3，……an)表示信息，其中ai=0或1，i、n∈N。設u=(a1，a2，a3，……an)，v=(b1，b2，b3，……bn)，d(u，v)表示u和v中相對應的元素不同的個數(shù)。
(1)u=(0,0，0,0，0)問存在多少個5元數(shù)組v使得d(u，v)=1
(2)u=(1,1，1,1，1)問存在多少個5元數(shù)組v使得d(u，v)=3
(3)令w=(01，04,02……0)，u=(a1，a2，a3……an)，v=(b1>，b2，b3……bn)
求證：d(u，w)＋d(v，w)≥d(u,v)
此問題與計算機中的“二進制”有關。前兩問是排列組合計數(shù)問題，尤其是第三問有一定的挑戰(zhàn)性�？砂裠(u,v)轉(zhuǎn)化為一個絕對值問題
4.突出對思維能力和解題技巧的考查
近幾年的自主招生試卷中對數(shù)學思想方法和思維策略的考查達到了相當高的層次，有時甚至達到相當于數(shù)學競賽的難度。
例如，2007年交大冬令營卷中有這樣一個問題：
設f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a，試證明對任意實數(shù)a：
(1)方程f(x)=0總有相同實根
(2)存在x0，恒有f(x0)≠0
這兩問解決的策略和方法是：換一個角度看成一個關于a的一次函數(shù)。 應試和準備策略
針對上述自主招生試題特點，學生復習時應注意以下幾點。
1.注意知識點的全面
數(shù)學題目被猜中的可能性很小，一般知識點都靠平時積累，剩下的就是個人的現(xiàn)場發(fā)揮。數(shù)學還是要靠平時扎扎實實的學習才能考出好成績，因此，學生平時必須把基礎知識打扎實。
另外，對上面提及的一些平時不太注意的小章節(jié)或高考不一定考的問題，如矩陣、行列式等也不可忽視。
2.適當做些近幾年的自主招生的真題
俗話說：知己知彼，百戰(zhàn)百勝。同學們可適當訓練近幾年自己所考的高校所出的自主招生試題，熟悉一下題型和套路。
3.注重知識的延伸和加深
復旦、交大、清華等全國重點院校自主招生試題比高考試題稍難，比數(shù)學競賽試題又稍簡單，有些問題稍有深度，這就要求考生平時注意知識點的延伸和加深。例如2008年復旦卷的第77題：
四十個學生參加數(shù)學奧林匹克競賽。他們必須解決一個代數(shù)學問題、一個幾何學問題以及一個三角學問題。具體情況如下表所述。
其中有三位學生一個問題都沒有解決。問：三個問題都解決的學生數(shù)是( )。
A.5 B.6 C.7 D.8
此題若是用畫圖、文氏圖等方法雖能解決，但花費時間較多。若是知題三個集合的容斥原理,|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)+|A∩B∩C|，只要代入公式，馬上就可解決。
又如第88題：
設x1,x2,x3是方程x3+x+2=0
此題若是知題三次方程的韋達定理，則也容易解決。而三次方程和韋達定理雖然可推導出來，但平時同學們對二次方程的韋達定理很熟悉，對三次方程則比較陌生。
又比如，柯西不等式可解決許多不等式問題，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生對此不熟悉。
總之，同學們?nèi)羰嵌嘧⒁庖恍┲R點的延伸和加深，考試時必定會有一種居高臨下的感覺。
(責任編輯：盧雁明)
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