高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

 　　平均變化率:
一般地，對(duì)于函數(shù)y =f(x)，x1,x2是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，那么函數(shù)的變化率可用式

表示，我們把這個(gè)式子稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率，習(xí)慣上用

表示，即平均變化率

上式中

的值可正可負(fù)，但

不為0.f(x)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，

　　瞬時(shí)速度:

如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v就是物體在t到

這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)

時(shí)平均速度的極限，即

若物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=f(t),那么物體在任意時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v(t)就是平均速度v(t，d)為

當(dāng)d趨于0時(shí)的極限.

　　函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的定義：

一般地，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是

，我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作

或

，即

。

　　導(dǎo)函數(shù)：

如果函數(shù)y =f(x)在開區(qū)間(a，6)內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在(a，b)內(nèi)的值x為自變量，以x處的導(dǎo)數(shù)稱為f(x為函數(shù)值的函數(shù)為fx)在(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為f(x)在(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x)或y′.即f′(x)=

　　切線及導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

　　(1)切線：PPn為曲線f(x)的割線，當(dāng)點(diǎn)Pn(xn，f(xn))(n∈N)沿曲線f(x)趨近于點(diǎn)P(x0，f(x0))時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定的位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線。

(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即k=

。

　　瞬時(shí)速度特別提醒：

①瞬時(shí)速度實(shí)質(zhì)是平均速度當(dāng)

時(shí)的極限值.

　�、谒矔r(shí)速度的計(jì)算必須先求出平均速度，再對(duì)平均速度取極限，

　　函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)特別提醒：

①當(dāng)

時(shí)，比值

的極限存在，則f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo);若

的極限不存在，則f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)或無(wú)導(dǎo)數(shù). ②自變量的增量

可以為正，也可以為負(fù)，還可以時(shí)正時(shí)負(fù)，但

.而函數(shù)的增量

可正可負(fù)，也可以為0.

　�、墼邳c(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)的定義可變形為:

　　導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)：

①導(dǎo)數(shù)的定義可變形為：

　　②可導(dǎo)的偶函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，而可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，

　　③可導(dǎo)的周期函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)仍為周期函數(shù)，

　　④并不是所有函數(shù)都有導(dǎo)函數(shù).

⑤導(dǎo)函數(shù)

與原來(lái)的函數(shù)f(x)有相同的定義域(a，b),且導(dǎo)函數(shù)

在x0處的函數(shù)值即為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值.

　　⑥區(qū)間一般指開區(qū)間，因?yàn)樵谄涠它c(diǎn)處不一定有增量(右端點(diǎn)無(wú)增量，左端點(diǎn)無(wú)減量).

　　導(dǎo)數(shù)的幾何意義(即切線的斜率與方程)特別提醒：

　�、倮�用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程.求出y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x);利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程為y-y0 =f′(x0)(x- x0).

　�、谌艉瘮�(shù)在x= x0處可導(dǎo)，則圖象在(x0，f(x0))處一定有切線，但若函數(shù)在x= x0處不可導(dǎo)，則圖象在(x0，f(x0))處也可能有切線，即若曲線y =f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與x軸垂直.

　�、圩⒁鈪^(qū)分曲線在P點(diǎn)處的切線和曲線過P點(diǎn)的切線，前者P點(diǎn)為切點(diǎn);后者P點(diǎn)不一定為切點(diǎn)，P點(diǎn)可以是切點(diǎn)也可以不是，一般曲線的切線與曲線可以有兩個(gè)以上的公共點(diǎn)，

　　④顯然f′(x0)>0，切線與x軸正向的夾角為銳角;f′(x0)

　　(責(zé)任編輯：彭海芝)

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