高二數(shù)學(xué)教案：二項式定理

 　　目標(biāo)：

　　知識與技能：進(jìn)一步掌握二項式定理和二項展開式的通項公式

　　過程與方法：能解決二項展開式有關(guān)的簡單問題

　　情感、態(tài)度與價值觀：過程中，要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。

　　教學(xué)重點：二項式定理及通項公式的掌握及運用

　　教學(xué)難點：二項式定理及通項公式的掌握及運用

　　授課類型：新授課

　　課時安排：3課時

　　教 具：多媒體、實物投影儀

　　內(nèi)容分析：

　　二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ).這部分知識具有較高應(yīng)用價值和思維訓(xùn)練價值.中學(xué)教材中的二項式定理主要包括：定理本身，通項公式，楊輝三角，二項式系數(shù)的性質(zhì)等.

　　通過二項式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識，同時在求展開式、其通項、證恒等式、近似計算等方面形成技能或技巧;進(jìn)一步體會過程分析與特殊化方法等等的運用;重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成.

　　二項式定理本身是教學(xué)重點，因為它是后面一切結(jié)果的基礎(chǔ).通項公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠(yuǎn)，所以也應(yīng)該是重點.

　　二項式定理的證明是一個教學(xué)難點.這是因為，證明中符號比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\用組合數(shù)的性質(zhì)2、需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法.

　　在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機(jī)會讓給學(xué)生，以發(fā)揮他們的自主精神;盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動的機(jī)會，以讓學(xué)生在直接體驗中建構(gòu)自己的知識體系;盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識，以使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí).

　　教學(xué)過程：

　　一、復(fù)習(xí)引入：

　�、� ;

　�、�

　　⑶ 的各項都是 次式，

　　即展開式應(yīng)有下面形式的各項： ， ， ， ， ，

　　展開式各項的系數(shù)：上面 個括號中，每個都不取 的情況有 種，即 種， 的系數(shù)是 ;恰有 個取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，恰有 個取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，恰有 個取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，有 都取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，

　　∴ .

　　二、講解新課：

　　二項式定理：

　　⑴ 的展開式的各項都是 次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項：

　　， ，…， ，…， ，

　�、普归_式各項的系數(shù)：

　　每個都不取 的情況有 種，即 種， 的系數(shù)是 ;

　　恰有 個取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，……，

　　恰有 個取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，……，

　　有 都取 的情況有 種， 的系數(shù)是 ，

　　∴ ，

　　這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫 的二項展開式，⑶它有 項，各項的系數(shù) 叫二項式系數(shù)，

　�、� 叫二項展開式的通項，用 表示，即通項 .

　�、啥�項式定理中，設(shè) ，則

　　三、講解范例：

　　例1.展開 .

　　解一： .

　　解二：

　　.

　　例2.展開 .

　　解：

　　.

　　例3.求 的展開式中的倒數(shù)第 項

　　解： 的展開式中共 項，它的倒數(shù)第 項是第 項，

　　.

　　例4.求(1) ，(2) 的展開式中的第 項.

　　解：(1) ，

　　(2) .

　　點評： ， 的展開后結(jié)果相同，但展開式中的第 項不相同

　　例5.(1)求 的展開式常數(shù)項;

　　(2)求 的展開式的中間兩項

　　解：∵ ，

　　∴(1)當(dāng) 時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為 ;

　　(2) 的展開式共 項，它的中間兩項分別是第 項、第 項，

　　，

　　例6.(1)求 的展開式的第4項的系數(shù);

　　(2)求 的展開式中 的系數(shù)及二項式系數(shù)

　　解： 的展開式的第四項是 ，

　　∴ 的展開式的第四項的系數(shù)是 .

　　(2)∵ 的展開式的通項是 ，

　　∴ ， ，

　　∴ 的系數(shù) ， 的二項式系數(shù) .

　　例7.求 的展開式中 的系數(shù)

　　分析：要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開

　　解：(法一)

　　，

　　顯然，上式中只有第四項中含 的項，

　　∴展開式中含 的項的系數(shù)是

　　(法二)：

　　∴展開式中含 的項的系數(shù)是 .

　　例8.已知 的展開式中含 項的系數(shù)為 ，求展開式中含 項的系數(shù)最小值

　　分析：展開式中含 項的系數(shù)是關(guān)于 的關(guān)系式，由展開式中含 項的系數(shù)為 ，可得 ，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 或 的二次函數(shù)求解

　　解： 展開式中含 的項為

　　∴ ，即 ，

　　展開式中含 的項的系數(shù)為

　　，

　　∵ ， ∴ ，

　　∴

　　，∴當(dāng) 時， 取最小值，但 ，

　　∴ 時， 即 項的系數(shù)最小，最小值為 ，此時 .

　　例9.已知 的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列，

　　(1)證明展開式中沒有常數(shù)項;(2)求展開式中所有的有理項

　　解：由題意： ，即 ，∴ 舍去)

　　∴

　　①若 是常數(shù)項，則 ，即 ，

　　∵ ，這不可能，∴展開式中沒有常數(shù)項;

　�、谌� 是有理項，當(dāng)且僅當(dāng) 為整數(shù)，

　　∴ ，∴ ，

　　即 展開式中有三項有理項，分別是： ， ，

　　例10.求 的近似值，使誤差小于 .

　　解： ，

　　展開式中第三項為 ，小于 ，以后各項的絕對值更小，可忽略不計，

　　∴ ，

　　一般地當(dāng) 較小時

　　四、課堂練習(xí)：

　　1.求 的展開式的第3項.

　　2.求 的展開式的第3項.

　　3.寫出 的展開式的第r+1項.

　　4.求 的展開式的第4項的二項式系數(shù)，并求第4項的系數(shù).

　　5.用二項式定理展開：

　　(1) ;(2) .

　　6.化簡：(1) ;(2)

　　7. 展開式中的第 項為 ，求 .

　　8.求 展開式的中間項

　　答案：1.

　　2.

　　3.

　　4.展開式的第4項的二項式系數(shù) ，第4項的系數(shù)

　　5. (1) ;

　　(2) .

　　6. (1) ;

　　(2)

　　7. 展開式中的第 項為

　　8. 展開式的中間項為

　　五、小結(jié) ：二項式定理的探索思路:觀察――歸納――猜想――證明;二項式定理及通項公式的特點

　　六、課后作業(yè)： P36 習(xí)題1.3A組1. 2. 3.4

　　七、板書設(shè)計(略)

　　八、教學(xué)反思：

　　(a+b) n =

　　這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做 (a+b)n的 ，其中 (r=0,1,2,……,n)叫做 ， 叫做二項展開式的通項，它是展開式的第 項，展開式共有 個項.

　　掌握二項式定理和二項展開式的通項公式，并能用它們解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題。

　　培養(yǎng)歸納猜想，抽象概括，演繹證明等理性思維能力。教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合起來，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體，教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。

　　二項式定理是指

　　這樣一個展開式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展開式的一般形式，在初等數(shù)學(xué)中它各章節(jié)的聯(lián)系似乎不太多，而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項式定理的展開，才求得y=xn的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)′=nxn-1，同時 =e≈2.718281…也正是由二項式定理的展開規(guī)律所確定，而e在高等數(shù)學(xué)中的地位更是舉足輕重，概率中的正態(tài)分布，復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二階變系數(shù)方程及高階常系數(shù)方程的解由e的指數(shù)形式來表達(dá).且直接由e的定義建立的y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)= 與積分公式 =dxlnx+c是分析學(xué)中用的最多的公式之一.而由y=xn的各階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)建立的泰勒公式;f(x)=f(x0)+ (x-x0)2+… (x-x0)n+ (θ∈(0，1))以及由此建立的冪級數(shù)理論，更是廣泛深入到高等數(shù)學(xué)的各個分支中.

　　怎樣使二項式定理的教學(xué)生動有趣

　　正因為二項式定理在初等數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，所以教材上教法就顯得呆板，單調(diào)，課本上先給出一個(a+b)4用組合知識來求展開式的系數(shù)的例子.然后推廣到一般形式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，因為證明寫得很長，上課時的板書幾乎占了整個黑板，所以課必然上得累贅，學(xué)生必然感到被動.那么多的算式學(xué)生看都不及細(xì)看，記也感到吃力，又怎能發(fā)揮主體作用?

　　怎樣才能使得在這節(jié)課上學(xué)生獲得主動?采用課前預(yù)習(xí);自學(xué)輔導(dǎo);還是學(xué)生討論，或讀，議、講，練，或目標(biāo)教學(xué)，還是設(shè)置發(fā)現(xiàn)情境?看來這些辦法遇到真正困難時都會無能為力，因為這些方法都無法改變算式的冗長，證法的呆板，課堂上的新情境與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式不協(xié)調(diào)的事實.

　　(責(zé)任編輯：彭海芝)

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