高考數(shù)學(xué)練習(xí)及答案:圓錐曲線的定點(diǎn) 定值與最值

　　各位考生到了緊張的復(fù)習(xí)間斷，每天都在做大量的試題，今日小編整理了一些2016年高考數(shù)學(xué)專練及答案供大家參考學(xué)習(xí)：

 　　一、選擇題

　　1.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2=x1+x3，則有(　　)

　　A.|FP1|+|FP2|=|FP3|

　　B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2

　　C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|

　　D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|

　　答案：C　解題思路：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-，由定義得|FP1|=x1+，|FP2|=x2+，|FP3|=x3+，則|FP1|+|FP3|=x1++x3+=x1+x3+p，2|FP2|=2x2+p，由2x2=x1+x3，得2|FP2|=|FP1|+|FP3|，故選C.

　　2.與拋物線y2=8x相切傾斜角為135°的直線l與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是A和B，那么過(guò)A，B兩點(diǎn)的最小圓截拋物線y2=8x的準(zhǔn)線所得的弦長(zhǎng)為(　　)

　　A.4　　　　B.2　　　C.2　　　　D.

　　答案：C　命題立意：本題考查直線與拋物線及圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，難度中等.

　　解題思路：設(shè)直線l的方程為y=-x+b，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元得y2+8y-8b=0，因?yàn)橹本�與拋物線相切，故Δ=82-4×(-8b)=0，解得b=-2，故直線l的方程為x+y+2=0，從而A(-2,0)，B(0，-2)，因此過(guò)A，B兩點(diǎn)最小圓即為以AB為直徑的圓，其方程為(x+1)2+(y+1)2=2，而拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2，此時(shí)圓心(-1，-1)到準(zhǔn)線的距離為1，故所截弦長(zhǎng)為2=2.

　　3.如圖，過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程為(　　)

　　A.y2=9x 　　B.y2=6x

　　C.y2=3x 　　D.y2=x

　　答案：C　命題立意：本題考查拋物線定義的應(yīng)用及拋物線方程的求解，難度中等.

　　解題思路：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為E，D，由拋物線定義可知|AE|=|AF|=3，|BC|=2|BF|=2|BD|，在RtBDC中，可知BCD=30°，故在RtACE中，可得|AC|=2|AE|=6，故|CF|=3，則GF即為ACE的中位線，故|GF|=p==，因此拋物線方程為y2=2px=3x.

　　4.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，若線段FA的中垂線與雙曲線C有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是(　　)

　　A.(1,3) B.(1,3]

　　C.(3，+∞) D.[3，+∞)

　　答案：D　命題立意：本題主要考查雙曲線的離心率問(wèn)題，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.

　　解題思路：設(shè)AF的中點(diǎn)C(xC,0)，由題意xC≤-a，即≤-a，解得e=≥3，故選D.

　　5.過(guò)點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y=相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于(　　)

　　A. B.- C.± D.-

　　答案：B　命題透析：本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

　　思路點(diǎn)撥：由y=，得x2+y2=1(y≥0)，即該曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的上半圓，如圖所示.

　　故SAOB=|OA||OB|·sin AOB=sin AOB，所以當(dāng)sin AOB=1，即OAOB時(shí)，SAOB取得最大值，此時(shí)O到直線l的距離d=|OA|sin 45°=.設(shè)此時(shí)直線l的方程為y=k(x-)，即kx-y-k=0，則有=，解得k=±，由圖可知直線l的傾斜角為鈍角，故k=-.

　　6.點(diǎn)P在直線l：y=x-1上，若存在過(guò)P的直線交拋物線y=x2于A，B兩點(diǎn)，且|PA|=|AB|，則稱點(diǎn)P為“正點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是(　　)

　　A.直線l上的所有點(diǎn)都是“正點(diǎn)”

　　B.直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“正點(diǎn)”

　　C.直線l上的所有點(diǎn)都不是“正點(diǎn)”

　　D.直線l上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)(點(diǎn)不是所有的點(diǎn))是“正點(diǎn)”

　　答案：A　解題思路：本題考查直線與拋物線的定義.設(shè)A(m，n)，P(x，x-1)，則B(2m-x,2n-x+1)， A，B在y=x2上， n=m2,2n-x+1=(2m-x)2，消去n，整理得關(guān)于x的方程x2-(4m-1)x+2m2-1=0， Δ=8m2-8m+5>0恒成立， 方程恒有實(shí)數(shù)解.

　　二、填空題

　　7.設(shè)A，B為雙曲線-=1(b>a>0)上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OAOB，則AOB面積的最小值為________.

　　答案：　解題思路：設(shè)直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=-x，則點(diǎn)A(x1，y1)滿足故x=，y=，

　　|OA|2=x+y=;

　　同理|OB|2=.

　　故|OA|2·|OB|2=·=.

　　=≤(當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，取等號(hào))， |OA|2·|OB|2≥，

　　又b>a>0，

　　故SAOB=|OA|·|OB|的最小值為.

　　8.已知直線y=x與雙曲線-=1交于A，B兩點(diǎn)，P為雙曲線上不同于A，B的點(diǎn)，當(dāng)直線PA，PB的斜率kPA，kPB存在時(shí)，kPA·kPB=________.

　　答案：　解題思路：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則由得y2=，y1+y2=0，y1y2=-，

　　x1+x2=0，x1x2=-4×.

　　由kPA·kPB=·====知kPA·kPB為定值.

　　9.設(shè)平面區(qū)域D是由雙曲線y2-=1的兩條漸近線和拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線所圍成的三角形(含邊界與內(nèi)部).若點(diǎn)(x，y)D，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為______.

　　答案：

　　3　解題思路：本題考查雙曲線、拋物線的性質(zhì)以及線性規(guī)劃.雙曲線y2-=1的兩條漸近線為y=±x，拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線為x=2，當(dāng)直線y=-x+z過(guò)點(diǎn)A(2,1)時(shí)，zmax=3.

　　三、解答題

　　10.已知拋物線y2=4x，過(guò)點(diǎn)M(0,2)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且直線與x軸交于點(diǎn)C.

　　(1)求證：|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列;

　　(2)設(shè)=α，=β，試問(wèn)α+β是否為定值，若是，求出此定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　解析：(1)證明：設(shè)直線的方程為：y=kx+2(k≠0)，

　　聯(lián)立方程可得得

　　k2x2+(4k-4)x+4=0.

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，

　　則x1+x2=-，x1x2=，

　　|MA|·|MB|=|x1-0|·|x2-0|=，

　　而|MC|2=2=，

　　|MC|2=|MA|·|MB|≠0，

　　即|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列.

　　(2)由=α，=β，得

　　(x1，y1-2)=α，

　　(x2，y2-2)=β，

　　即得：α=，β=，

　　則α+β=，

　　由(1)中代入得α+β=-1，

　　故α+β為定值且定值為-1.

　　11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)F(0，p)(p>0)，直線l：y=-p，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與x軸的交點(diǎn)，過(guò)R，P分別作直線l1，l2，使l1PF，l2l，l1∩l2=Q.

　　(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程;

　　(2)在直線l上任取一點(diǎn)M作曲線C的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為A，B，求證：直線AB恒過(guò)一定點(diǎn);

　　(3)對(duì)(2)求證：當(dāng)直線MA，MF，MB的斜率存在時(shí)，直線MA，MF，MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

　　解題思路：本題考查軌跡方程的求法及直線與拋物線的位置關(guān)系.(1)利用拋物線的定義即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)利用導(dǎo)數(shù)及方程根的思想得出兩切點(diǎn)的直線方程，進(jìn)一步求出直線恒過(guò)的定點(diǎn);(3)分別利用坐標(biāo)表示三條直線的斜率，從而化簡(jiǎn)證明即可.

　　解析：(1)依題意知，點(diǎn)R是線段PF的中點(diǎn)，且RQ⊥FP，

　　RQ是線段FP的垂直平分線. |QP|=|QF|.故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：x2=4py(p>0).

　　(2)設(shè)M(m，-p)，兩切點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2).

　　由x2=4py得y=x2，求導(dǎo)得y′=x.

　　兩條切線方程為y-y1=x1(x-x1)，

　　y-y2=x2(x-x2)，

　　對(duì)于方程，代入點(diǎn)M(m，-p)得，

　　-p-y1=x1(m-x1)，又y1=x，

　　-p-x=x1(m-x1)，

　　整理得x-2mx1-4p2=0.

　　同理對(duì)方程有x-2mx2-4p2=0，

　　即x1，x2為方程x2-2mx-4p2=0的兩根.

　　x1+x2=2m，x1x2=-4p2.

　　設(shè)直線AB的斜率為k，k===(x1+x2)，

　　所以直線的方程為y-=(x1+x2)(x-x1)，展開得：

　　y=(x1+x2)x-，

　　將代入得：y=x+p.

　　直線恒過(guò)定點(diǎn)(0，p).

　　(責(zé)任編輯：盧雁明)

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