2016年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)及答案(3)

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　　題型一　古典概型問題

　　例1　某班級(jí)的某一小組有6位學(xué)生，其中4位男生，2位女生，現(xiàn)從中選取2位學(xué)生參加班級(jí)志愿者小組，求下列事件的概率：

　　(1)選取的2位學(xué)生都是男生;

　　(2)選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生.

　　破題切入點(diǎn)　先求出任取2位學(xué)生的基本事件的總數(shù)，然后分別求出所求的兩個(gè)事件含有的基本事件數(shù)，再利用古典概型概率公式求解.

　　解　(1)設(shè)4位男生的編號(hào)分別為1,2,3,4,2位女生的編號(hào)分別為5,6.從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生的所有可能結(jié)果為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種.

　　從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生，所取的2位全是男生的方法數(shù)，即從4位男生中任取2個(gè)的方法數(shù)，共有6種，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4).

　　所以選取的2位學(xué)生全是男生的概率為P1==.

　　(2)從6位學(xué)生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8種.

　　所以選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生的概率為P2=.

　　題型二　幾何概型問題

　　例2　(2013·四川改編)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是________.

　　破題切入點(diǎn)　由幾何概型的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.

　　答案

　　解析

　　設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為x、y，x、y相互獨(dú)立，由題意可知，如圖所示.∴兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過2秒的概率為P(|x-y|≤2)=

　　===.

　　題型三　古典概型與幾何概型的綜合問題

　　例3　已知關(guān)于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0，a，b∈R.

　　(1)若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率;

　　(2)若a是從區(qū)間[0,3]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有實(shí)數(shù)根的概率.

　　破題切入點(diǎn)　本題中含有兩個(gè)參數(shù)，顯然要將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一元二次方程有解的條件問題.

　　第(1)問利用列舉法將基本事件羅列出來，再結(jié)合題意求解.

　　第(2)問將a，b滿足的不等式轉(zhuǎn)化為可行域——平面區(qū)域問題，從而利用幾何概型的概率公式求解.

　　解　設(shè)事件A為“方程9x2+6ax-b2+4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”;事件B為“方程9x2+6ax-b2+4=0有實(shí)數(shù)根”.

　　(1)由題意，知基本事件共9個(gè)，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值.

　　由Δ=36a2-36(-b2+4)=36a2+36b2-36×4>0，得a2+b2>4.

　　事件A要求a，b滿足條件a2+b2>4，可知包含6個(gè)基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，

　　所以方程有兩個(gè)不相同實(shí)根的概率P(A)==.

　　(2)由題意，方程有實(shí)根的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，

　　故所求概率為：

　　P(B)==1-.

　　總結(jié)提高　(1)求解古典概型問題的三個(gè)步驟

　�、倥袛啾敬卧囼�(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求事件A.

　�、诜謩e計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m.

　　③利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率.若直接求解比較困難，則可以利用間接的方法，如逆向思維，先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率.

　　(2)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域Ω，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決.

　　(3)幾何概型的概率求解，一般要將問題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度、面積或體積等幾何問題.在轉(zhuǎn)化中，面積問題的求解常常用到線性規(guī)劃知識(shí)，也就是用二元一次不等式(或其他簡(jiǎn)單不等式)組表示區(qū)域.幾何概型的試驗(yàn)中事件A的概率P(A)只與其所表示的區(qū)域的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)有關(guān)，而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān).

　　1.從標(biāo)有1,2,3，…，7的7個(gè)小球中取出一球，記下它上面的數(shù)字，放回后再取出一球，記下它上面的數(shù)字，然后把兩數(shù)相加得和，則取得的兩球上的數(shù)字之和大于11或者能被4整除的概率是________.

　　答案

　　2.已知實(shí)數(shù)a，b滿足x1，x2是關(guān)于x的方程x2-2x+b-a+3=0的兩個(gè)實(shí)根，則不等式00，f(1)<0，即建立平面直角坐標(biāo)系如圖.

　　滿足題意的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，故所求概率P==.

　　3.(2014·陜西改編)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為________.

　　答案

　　解析　取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長(zhǎng)的情況有6種，概率為=.

　　4.有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________.

　　答案

　　解析　設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，則P1===，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P=1-=.

　　5.在面積為S的矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則△PBC的面積小于的概率是________.

　　答案

　　解析

　　如圖，M，N分別為AB，CD中點(diǎn)，

　　當(dāng)點(diǎn)P位于陰影部分時(shí)，

　　△PBC的面積小于，根據(jù)幾何概型，其概率為P==.

　　6.已知點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y=1上，點(diǎn)C(3,4)，若AB≤，則△ABC的面積大于5的概率是________.

　　答案

　　解析　設(shè)B(x,1)，根據(jù)題意知點(diǎn)D(，1)，

　　若△ABC的面積小于或等于5，則×DB×4≤5，即DB≤，

　　所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x∈[-，]，而AB≤，

　　所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x∈[-3,3]，所以△ABC的面積小于或等于5的概率為

　　P==，

　　所以△ABC的面積大于5的概率是1-P=.

　　7.(2013·湖北)在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m=________.

　　答案　3

　　解析　由|x|≤m，得-m≤x≤m.

　　當(dāng)m≤2時(shí)，由題意得=，解得m=2.5，矛盾，舍去.

　　當(dāng)2n.

　　如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線m=n恰好將矩形平分，

　　∴所求的概率為P=.

　　9.(2013·江蘇)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為______.

　　答案

　　解析　P==.

　　10.平面內(nèi)有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個(gè)平面內(nèi)，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是________.

　　答案

　　解析　如圖所示，當(dāng)硬幣中心落在陰影區(qū)域時(shí)，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為.

　　11.已知向量a=(-2,1)，b=(x，y).

　　(1)若x、y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足a·b=-1的概率;

　　(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿足a·b<0的概率.

　　解　(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6×6=36(個(gè));

　　由a·b=-1有-2x+y=-1，

　　所以滿足a·b=-1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè);

　　故滿足a·b=-1的概率為=.

　　(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，則全部基本事件的結(jié)果為Ω={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6};

　　滿足a·b<0的基本事件的結(jié)果為

　　A={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};

　　畫出圖形如圖，

　　矩形的面積為S矩形=25，

　　陰影部分的面積為S陰影=25-×2×4=21，

　　故滿足a·b<0的概率為.

　　12.某同學(xué)參加省學(xué)業(yè)水平測(cè)試，物理、化學(xué)、生物成績(jī)獲得等級(jí)A和獲得等級(jí)不是A的機(jī)會(huì)相等，且三個(gè)學(xué)科成績(jī)獲得等級(jí)A的事件分別記為W1，W2，W3，獲得等級(jí)不是A的事件分別記為，，.

　　(1)試列舉該同學(xué)在這次水平測(cè)試中物理、化學(xué)、生物成績(jī)是否為A的所有可能結(jié)果(如三科成績(jī)均為A記為(W1，W2，W3));

　　(2)求該同學(xué)參加這次水平測(cè)試獲得兩個(gè)A的概率;

　　(3)試設(shè)計(jì)一個(gè)關(guān)于該同學(xué)參加這次水平測(cè)試物理、化學(xué)、生物成績(jī)情況的事件，使該事件的概率大于85%，并說明理由.

　　解　(1)該同學(xué)在這次水平測(cè)試中物理、化學(xué)、生物成績(jī)是否為A的可能結(jié)果有8種，分別為(W1，W2，W3)，(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，).

　　(2)由(1)，知有兩個(gè)A的情況為(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，共3種，從而所求概率為P=.

　　(3)方法一　該同學(xué)參加這次水平測(cè)試物理、化學(xué)、生物成績(jī)不全為A的事件概率大于85%.

　　理由如下：該同學(xué)參加這次水平測(cè)試物理、化學(xué)、生物成績(jī)不全為A的事件有如下7種情況：(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，，)，

　　故物理、化學(xué)、生物成績(jī)不全為A的概率是P1==0.875>85%.

　　方法二　該同學(xué)參加這次水平測(cè)試物理、化學(xué)、生物成績(jī)至少一個(gè)為A的事件概率大于85%.

　　理由如下：該同學(xué)參加這次水平測(cè)試物理、化學(xué)、生物成績(jī)?nèi)�不為A的事件有1種情況，即(，，)，其概率為，則物理、化學(xué)、生物成績(jī)至少一個(gè)為A的概率為P2=1-=>85%.

　　(責(zé)任編輯：盧雁明)

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