高考復(fù)習(xí)：數(shù)學(xué)考試的學(xué)科特點(diǎn)是解法多樣
在各套試卷的各題型中，都有不少試題能夠一題多解。
【例1】(2007年天津卷,理10) 設(shè)兩個(gè)向量-=(+2,2-cos2)和-=(m，-+sin)，其中，m，為實(shí)數(shù)。若-=2-，則-的取值范圍是( )。
(A)[-6，1] (B)[4，8]
(C)[-∞，1] (D)[-1，6]
【解】本題給出兩個(gè)共線向量和三個(gè)參數(shù)，m，，需要確定-的取值范圍，這種題目也不太常見，因?yàn)槭沁x擇題，我們可以從不同的角度用不同的方法來解決。
解法1:可以根據(jù)選項(xiàng)提供的數(shù)據(jù)，用逆向化策略和特殊化策略，通過選取特殊值進(jìn)行排除。 -
設(shè)-=4，則4m+2=2m，m=-1， =-4。由第二個(gè)等式得16-cos2=-1+2sin，即17=cos2+2sin這是不可能的，因而排除(B)，(D)。
再設(shè)-=-8，則-8m+2=2m，m=-，=--，由第二個(gè)等式--cos2=-+2sin，即-=cos2+2sin=-(sin-1)2+2≤2
這同樣是不可能的。因而排除(C)。故選A。
解法2：如果-是一個(gè)整體，則可以對(duì)和m分別求出取值范圍，再進(jìn)行整合。 由解法1，有
-
消去得4m2-9m+4=cos2+2sin，
由于-2≤cos2+2sin=
-(sin-1)2+2≤2，
則有-2≤4m2-9m+4≤2，解得-≤m≤2(m≠0)。
由=2m-2得--≤≤2，進(jìn)而可求得-6≤-≤1，故選A。
以上兩個(gè)解法運(yùn)用了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想(解法1)， 函數(shù)與方程思想和分解與組合的思維方法(解法2)。
【例2】(2007年全國(guó)Ⅰ卷，理22)已知數(shù)列{an}中a1=2，an+1=(--1)(an+2)，n=1，2，3，…
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}中b1=2，bn+1=-，n=1，2，3…,
證明：-
【解】(Ⅰ)an的通項(xiàng)公式為an=-[(--1)n+1]，n=1，2，3…。
解：用數(shù)學(xué)歸納法證明。
(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，因-<2，b1=a1=2，所以-
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即-
當(dāng)n=k+1時(shí)，
bk+1--=---
=-
=->0
又 -<-=3-2-
所以bk-1--
=-
<(3-2-)2(bk--)
≤(--1)4(a4k-3--)
=a4k+1--。
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立。
根據(jù)(ⅰ)和(ⅱ)知- 【例3】(2007年遼寧卷，理22)已知函數(shù)f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1，g(x)=-f'(x)。
(I)證明：當(dāng)t<2-時(shí)，g(x)在R上是增函數(shù)；
(II)對(duì)于給定的閉區(qū)間[a，b]，試說明存在實(shí)數(shù)k，t>k 時(shí)，g(x)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)；
(III)證明：f(x)≥-。
【解】(I)f'(x)=2e2x-2t(ex+1)+2x，
g(x)=-f'(x)=e2x-t(ex+1)+x，
g'(x)=2e2x-tex+1=2(ex--)2+1--，
因?yàn)閠<2-，則1-->0，所以，g'(x)>0，
所以，當(dāng)t<2-時(shí)，g(x)在R上是增函數(shù)。
(II)本題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)k，當(dāng)t>k時(shí)，在閉區(qū)間[a，b]上g'(x)<0；
由g'(x)=2e2x-tex+1<0，t>2ex+e-x令h(x)=2ex+e-x，
由于h(x)是閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，所以，h(x) 一定有最大值，設(shè)該最大值為k，則必有t>k，
于是，當(dāng)t>k=(2ex+e-x)max時(shí)，有g(shù)'(x)<0 ，即g(x)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)；
(III)證明：把f(x)看作t的函數(shù)，
設(shè)F(t)=2t2-2(ex+x)t+e2x+x2+1，則F(t)=2(t--)2+-(ex-x)2+1≥-(ex-x)2+1。
設(shè)H(x)=ex-x則H'(x)=ex-1
所以，H(x)的最小值為1，從而H(x)=ex-x≥1于是，F(xiàn)(t)=-(ex-x)2+1≥-，即f(x)≥-。
【例4】(2007年重慶卷，理，文)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S1>1，且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N。
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}滿足an(--1)=1并記Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求證：
3Tn+1>log2(an+3)，n∈N。
【解】(I)由a1=S1=-(a1+1)(a1+2)，解得a1=1或a1=2，
由假設(shè)a1=S1>1，因此a1=2，
又由an+1=Sn+1-Sn=-(an+1+1)(an+1+2)--(an+1)(an+2)，
得(an+1+an)(an+1-an-3)=0，
即an+1-an-3=0或an+1=-an，因an>0，故an+1=-an不成立，舍去。
因此an+1-an=3，從而{an}是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，
故{an}的通項(xiàng)為an=3n-1。
(II)證明：用比較法。由an(--1)=1可解得
bn=log2(1+-)=log2-；
從而Tn=b1+b2+……+bn=log2(-·■……-)。
因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(-·■……-)3·■。
令f(n)=(-·■……-)3·■，
則-=-·（-)3=-。
因(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，故f(n+1)>f(n)。
特別地f(n)≥f(1)=->1，從而3Tn+1-log2(an+3)=log2f(n)>0 。
即3Tn+1>log2(an+3)。
(責(zé)任編輯：盧雁明)
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